피타고라스 정리와 무리수 (feat. 아인슈타인)

피타고라스 정리는 아마 중학교 때 배우는 걸로 알고 있는데요. 그래서 다들 상식으로 알고 계실 거라고 생각합니다.

 

그런데 혹시 피타고라스 정리와 무리수의 발견에 대한 일화도 알고 계시나요?

 

 

 

이번 글에서는 피타고라스 정리와 무리수의 발견에 대한 일화를 소개해 드리려고 해요.

 

그리고 제가 이후에 아인슈타인과 양자역학에 대한 이야기를 들으며 왜 피타고라스가 떠올랐는지도 알려드릴게요.

 

 

 

피타고라스 정리와 증명

피타고라스 정리는 직각삼각형에서 두 직각 변을 각각 한 변으로 하는 정사각형의 넓이의 합은 빗변을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이와 같다는 정리이죠. 그림으로 나타내면 다음과 같습니다.

 

피타고라스 정리

 

피타고라스 정리는 다양한 방식으로 증명이 가능한데요. 저는 그중에서 하나만 간단하게 보여드릴게요.

 

피타고라스 정리 증명

 

위의 그림은 직각삼각형 각 변의 길이가 a, b, c인 직각삼각형 4개를 붙여 하나의 정사각형을 만든 것입니다. 바깥의 큰 정사각형의 한 변의 길이는 (a+b)이고, 안쪽에 비스듬히 들어가 있는 작은 정사각형의 한 변의 길이는 c이죠.

 

 

바깥의 큰 정사각형의 넓이는 작은 정사각형과 주위를 둘러싼 4개의 직각삼각형의 넓이의 합과 같습니다.

 

식으로 나타낸 후 정리하면 아래와 같습니다.

(a+b)² = c² + 4×{(1/2)×a×b}
a² + 2ab + b² = c² + 2ab
∴ a² + b² = c²

이렇게 해서 간단하게 피타고라스 정리를 증명할 수 있죠.

 

 

 

피타고라스 정리와 무리수

 

피타고라스 정리는 직각삼각형의 세 변의 길이의 관계에 대해 밝혀주었어요.

 

그래서 직각삼각형의 세 변을 이루는 길이의 조합을 알 수 있게 되었죠.

 

예를 들면 (3, 4, 5) 또는 (5, 12, 13) 같은 것들이 있어요.

 

그런데 문제는 모든 길이 조합을 정수의 비로 설명할 수가 없다는 것이었어요.

 

 

 

직각 이등변 삼각형을 생각해보세요.

 

직각 변들의 길이가 1, 1이라면 빗변의 길이는 어떻게 표현할까요?

 

제곱해서 2가 되는 숫자가 무엇일까요?

 

 

 

이것이 바로 무리수의 탄생입니다.

 

피타고라스의 제자 중 한 명인 히파소스가 무리수를 발견했죠.

 

이런 수들은 정수들의 비로 표현할 수가 없었어요.

 

그런데 피타고라스 학파에서는 우주는 완벽하기 때문에 모든 것을 정수의 비로 나타낼 수 있다고 믿었어요.

 

그래서 피타고라스 학파는 무리수의 존재를 부정합니다.

 

히파소스가 우주의 섭리를 거스르는 요소를 만들었다며 그를 살해했다는 이야기가 전해져 오고 있을 정도니, 얼마나 무리수의 존재를 숨기고 싶어 했는지 느껴지시죠?

 

 

 

자신이 발견해낸 피타고라스의 정리에서 파생된 결과물을 부정한다니, 참 아이러니한데요.

 

바로 이 부분에서 아인슈타인과 양자역학 이야기와의 연관성을 찾을 수 있습니다.

 

 

 

아인슈타인과 양자역학

 

아인슈타인은 제가 가장 좋아하는 과학자입니다.

 

'천재'하면 떠오르는 사람이기도 하죠.

 

아인슈타인은 현대 물리학의 시작을 알린 과학자라고 볼 수 있는데요.

 

가장 유명한 업적은 상대성이론으로 알려져 있습니다.

 

내용은 몰라도 '상대성이론'이라는 이름만큼은 많이들 들어 보셨죠.

 

 

 

그러나 아인슈타인을 노벨 물리학상으로 이끈 것은 상대성이론이 아니라 광전효과였습니다.

 

쉽게 설명해 볼게요.

 

광전효과란, 빛을 금속에 비추었을 때 금속에서 전자가 튀어나오는 현상입니다.

 

그런데 특이한 점이 있었어요.

 

전자가 튀어나오는 조건이 빛의 세기나 빛을 비추는 시간과는 관련이 없고, 빛의 진동수에만 관련되어 있다는 점이었죠.

 

빛이 파동이라는 기존의 상식으로는 설명할 수 없는 결과였어요.

 

 

 

아인슈타인은 빛을 입자로 가정하여 이 현상을 설명해냅니다.

 

모순적인 것처럼 보이지만 결국 빛은 입자성과 파동성을 모두 지니고 있는 것으로 밝혀졌어요.

 

그리고 에너지가 연속적이지 않고, 양자화되어 있다는 사실도 알 수 있었죠.

 

 

 

이것이 본격적인 양자역학 시대의 시작을 열었다고 할 수 있어요.

 

기존의 상식들을 완전히 뒤엎어 버리는 다양한 연구들이 쏟아져 나오기 시작했어요.

 

가장 이상했던 것은 미시 세계에서의 물리 현상을 예측하거나, 심지어는 측정하는 것조차도 불가능하다는 것이었어요.

 

확률을 통해서만 설명할 수가 있었죠.

 

아인슈타인은 "신은 주사위 놀이를 하지 않는다."며 양자역학을 끝까지 반대하였습니다.

 

자신의 연구로부터 탄생한 새로운 물리학을 부정한 것이죠.

 

 

 

저는 이 이야기를 보고 피타고라스 정리와 무리수 이야기가 떠올랐습니다. 자신이 밝혀낸 사실로부터 파생된 결과물을 자신의 믿음에 반한다는 이유로 받아들이지 못하는 것이 비슷하게 느껴지지 않나요? 아무리 세기의 천재라고 하더라도 도저히 받아들일 수 없는 사실이 있는가 봅니다.

 

 

이렇게 해서 피타고라스와 아인슈타인의 이야기를 최대한 쉽고 재미있게 풀어 보았는데요. 여러분도 재미있게 읽으셨길 바라면서 마치겠습니다.

 

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